MM101: Analyse 1

Studerende, der følger kurset, forventes at:

• Have kendskab til indledende teori om funktioner, kontinuitet, differentiabilitet, følger og rækker som erhvervet i et typisk calculus kursus.
• Kunne anvende og gennemføre elementære matematiske ræsonnementer og udregninger.

Formålet med kurset er at give de studerende en grundig indføring i de matematiske metoder til at håndtere grænseovergang og infinitesimalt små størrelser. Kurset vil således indeholde en stringent gennemgang af bl.a. teorien for kontinuerte funktioner og af integralet for sådanne funktioner. På den baggrund udstyrer kurset den studerende med et avanceret og solidt udgangspunkt for at undervise i tilsvarende emner i gymnasiet.

Kurset bygger oven på den viden, der er erhvervet i kurser i calculus og lineær algebra, som er indgangskrav til masteruddannelsen i matematik med henblik på undervisning på de gymnasiale uddannelser.

Kurset giver et fagligt grundlag for at studere bl.a. emnerne sandsynlighedsregning, statistik og matematisk analyse, der er placeret senere i uddannelsen.

1. definere begrebet “kontinuitet” matematisk stringent, og redegøre for hvordan definitionen modsvarer mere intuitive beskrivelser af kontinuitet.
2. formulere og give detaljerede beviser for hovedresultaterne om kontinuerte funktioner defineret på et lukket og begrænset interval.
3. definere begreberne “integrabilitet” og “integral” matematisk stringent og redegøre visuelt for deres intuitive betydning.
4. udlede at kontinuerte funktioner på et lukket og begrænset interval er integrable via stringent matematisk bevisførelse.
5. redegøre for sammenhængen mellem integraler og differentiabilitet.

Kurset starter med en kort gennemgang af de grundlæggende talsystemer kul- minerende med en beskrivelse af de reelle tal med fokus på supremumsegenskaben. Derefter behandles reelle talfølger og deres konvergens, og det bevises, at begrænsede følger af reelle tal har konvergente delfølger (Bolzano-Weierstrass’ Sætning). Fokus rettes efterfølgende mod kontinuerte funktioner af én reel variabel og regneregler for sådanne. Endvidere defineres begrebet uniform kontinuitet, og det bevises, at kontinuerte funktioner på lukkede og begrænsede intervaller er uniformt kontinuerte. Herefter gennemgås Riemann-integralet med fokus på kontinuerte funktioner, og såfremt tiden tillader det, bevises afslutningsvist differential- og integralregningens hovedsætning om sammenhængen mellem integraler og differentiabilitet.

• De grundlæggende talsystemer
• Supremumsegenskaben for de reelle tal
• Følger af reelle tal og deres konvergens
• Delfølger og Bolzano-Weierstrass’ Sætning
• Kontinuerte og uniformt kontinuerte funktioner af en reel variabel.
• Riemann integralet for kontinuerte funktioner af en reel variabel.
• Differential- og integralregningens hovedsætning