MM101: Analyse 1

Det Naturvidenskabelige Studienævn

Undervisningssprog: Dansk
EKA: N900000102
Censur: Ekstern prøve
Bedømmelse: 7-trinsskala
Udbudssteder: Odense
Udbudsterminer: Efterår
Niveau: Master

STADS ID (UVA): N900000101
ECTS-point: 5

Godkendelsesdato: 25-04-2019


Varighed: 1 semester

Version: Godkendt - aktiv

Kommentar

Udbudt første gang E18.

Indgangskrav

Ingen udover adgangskrav

Faglige forudsætninger

Studerende, der følger kurset, forventes at:

  • Have kendskab til indledende teori om funktioner, kontinuitet, differentiabilitet, følger og rækker som erhvervet i et typisk calculus kursus.
  • Kunne anvende og gennemføre elementære matematiske ræsonnementer og udregninger.

Formål

Formålet med kurset er at give de studerende en grundig indføring i de matematiske metoder til at håndtere grænseovergang og infinitesimalt små størrelser. Kurset vil således indeholde en stringent gennemgang af bl.a. teorien for kontinuerte funktioner og af integralet for sådanne funktioner. På den baggrund udstyrer kurset den studerende med et avanceret og solidt udgangspunkt for at undervise i tilsvarende emner i gymnasiet.

Kurset bygger oven på den viden, der er erhvervet i kurser i calculus og lineær algebra, som er indgangskrav til masteruddannelsen i matematik med henblik på undervisning på de gymnasiale uddannelser.

Kurset giver et fagligt grundlag for at studere bl.a. emnerne sandsynlighedsregning, statistik og matematisk analyse, der er placeret senere i uddannelsen.

I forhold til uddannelsens kompetenceprofil har kurset eksplicit fokus på at:

  • Give kompetence til at undervise kvalificeret på gymnasieuddannelserne indenfor emner relateret til matematisk analyse.
  • Give færdigheder i at formulere, opstille og gennemføre matematiske resultater og ræsonnementer vedrørende f.eks. grænseovergange og infinitesimale størrelser.
  • Give dybbdegående viden om bl.a. kontinuitet, differentialregning og integralregning med henblik på undervisning af disse emner på gymnasieuddannelserne.

Målbeskrivelse

Ved kursets afslutning forventes den studerende at kunne:

  1. definere begrebet “kontinuitet” matematisk stringent, og redegøre for hvordan definitionen modsvarer mere intuitive beskrivelser af kontinuitet.
  2. formulere og give detaljerede beviser for hovedresultaterne om kontinuerte funktioner defineret på et lukket og begrænset interval.
  3. definere begreberne “integrabilitet” og “integral” matematisk stringent og redegøre visuelt for deres intuitive betydning.
  4. udlede at kontinuerte funktioner på et lukket og begrænset interval er integrable via stringent matematisk bevisførelse.
  5. redegøre for sammenhængen mellem integraler og differentiabilitet.

Indhold

Kurset starter med en kort gennemgang af de grundlæggende talsystemer kul- minerende med en beskrivelse af de reelle tal med fokus på supremumsegenskaben. Derefter behandles reelle talfølger og deres konvergens, og det bevises, at begrænsede følger af reelle tal har konvergente delfølger (Bolzano-Weierstrass’ Sætning). Fokus rettes efterfølgende mod kontinuerte funktioner af én reel variabel og regneregler for sådanne. Endvidere defineres begrebet uniform kontinuitet, og det bevises, at kontinuerte funktioner på lukkede og begrænsede intervaller er uniformt kontinuerte. Herefter gennemgås Riemann-integralet med fokus på kontinuerte funktioner, og såfremt tiden tillader det, bevises afslutningsvist differential- og integralregningens hovedsætning om sammenhængen mellem integraler og differentiabilitet.

  • De grundlæggende talsystemer
  • Supremumsegenskaben for de reelle tal
  • Følger af reelle tal og deres konvergens
  • Delfølger og Bolzano-Weierstrass’ Sætning
  • Kontinuerte og uniformt kontinuerte funktioner af en reel variabel.
  • Riemann integralet for kontinuerte funktioner af en reel variabel.
  • Differential- og integralregningens hovedsætning

Litteratur

Se BlackBoard for pensumlister og yderligere litteraturhenvisninger.

Eksamensbestemmelser

Eksamenselement a)

Tidsmæssig placering

Januar

Udprøvninger

Mundtlig eksamen

EKA

N900000102

Censur

Ekstern prøve

Bedømmelse

7-trinsskala

Identifikation

Studiekort

Sprog

Følger, som udgangspunkt, undervisningssprog

Hjælpemidler

Oplyses på kurset

ECTS-point

5

Uddybende information

Bemærkning om eksamen: Ved den mundtlige eksamen overhøres den studerende i et trukket hovedspørgsmål og derefter i en af eksaminator udvalgt opgave stillet i løbet af kurset.

Eksamensformen ved reeksamen kan være en anden end eksamensformen ved den ordinære eksamen.

Vejledende antal undervisningstimer

60 timer per semester

Undervisningsform

På naturvidenskab er undervisningen tilrettelagt efter trefasemodellen dvs. intro, trænings- og studiefasen.

Introfasen 25 timer, består af forelæsninger og videoforelæsninger. Teoretiske øvelser, eksaminatorier 
Træningsfasen: 35 timer, heraf 35 timer eksaminatorier.

Ansvarlig underviser

Navn E-mail Institut
Steen Thorbjørnsen steenth@math.au.dk

Skemaoplysninger

Administrationsenhed

Institut for Matematik og Datalogi (matematik)

Team hos Registrering & Legalitet

NAT

Anbefalede studieforløb

Profil Program Semester Periode