MM850: Kompleksitet og beregnelighed

Kurset samlæses med: DM553: Kompleksitet og beregnelighed (10 ECTS)
Kurset er valgfrit for følgende studieordninger: Matematik, Matematik-Økonomi, Anvendt matematik

Kurset kan ikke følges af studerende, der har bestået DM553.

Studerende, der følger kurset, forventes at:

• Have kenskab til basale algoritmer for manipulering af (repræsentationer af) talsæt og grafer, samt analyse af algoritmer
  
• Have kendskab til basal matematisk argumentation, herunder bevis ved induktion, bevis ved modstrid og logiske udtryk.
  
• Have kendskab til brugen af kombinatoriske teknikker indenfor algoritmeudvikling.

Kurset har til formål at sætte den studerende i stand til at:

• Anvende formalismer for formelle sprog til at formulere f.eks. afgørelsesproblemer præcist.
• Arbejde med endelige automater, regulære udtryk, stakautomater og kontekstfrie grammatikker som et element i en algoritmisk løsning af større problemer.
• Afgøre kompleksiteten af nye problemer ud fra kendskab til kompleksiteten af en lang række vigtige eksempler fra kurset.
• Vurdere om et problem kan løses ved hjælp af en computer eller om det er uafgørligt.
• Argumentere for NP-komplethed af problemer.
• Vurdere muligheden for at udvikle en approksimationsalgoritme eller parametericeretalgoritme for et givet optimeringsproblem der vides at være NP-hårdt.
• Give nedre grænser for kompleksiteten af problemer der ligner dem som studeres i kurset.

Disse færdigheder er vigtige både når der skal udvikles nye algoritmer til et givet problem og når man skal vurdere om et givet problem vil kunne løses (evt. kun approksimativt) ved hjælp af en algoritme indenfor rimelig tid.

Kurset bygger oven på den viden, der er erhvervet i kurset MM541 Kombinatorisk matematik.

Kurset giver et fagligt grundlag for at gennemføre valgfrie kandidatkurser der indeholder et eller flere af følgende elementer: kompleksitet af algoritmer, approksimationsalgoritmer og beregnelighed.

Desuden giver kurset, suppleret med ovennævnte type af kurser, et fagligt grundlag for at lave et speciale indenfor algoritmiske og kompleksitetsteoretiske emner.

I forhold til uddannelsens kompetenceprofil har kurset eksplicit fokus på at:

• Give kompetence til at kunne vurdere kompleksiteten af (afgørelses)problemer.
• Give viden om beregningsstyrken af forskellige modeller for beregning.
• Give den studerende evnen til at kunne konstruere stakautomater og kontekstfrie grammatiker til simple sprog.
• Udstyre den studerende med vigtige redskaber til at vise at et givet sprog ikke kan genkendes ved hjælp af en endelig automat, stakautomat eller en Turing maskine.
• Give den studerende evnen til at kunne bevise nedre grænser for kompleksiteten af algoritmer til et givet problem.
• Udstyre den studerende med vigtige redskaber til at kunne designe nye approksimationsalgoritmer.
• Udstyre den studerende med vigtige redskaber til at bevise at et givet afgørelsesproblem er NP-komplet eller uafgørligt.

For at opnå kursets formål er det læringsmålet for kurset, at den studerende demonstrerer evnen til at:

• Kunne vurdere kompleksiteten af (afgørelses)problemer.
  
• Kunne vurdere beregningsstyrken af forskellige modeller for beregning.
• Konstruere stakautomater og kontekstfrie grammatiker til simple sprog.
• Vise at et givet sprog, der ligner dem som er studeret i kurset, ikke kan genkendes ved hjælp af en endelig automat, stakautomat eller en Turing maskine.
• Kunne bevise nedre grænser for kompleksiteten af algoritmer til et givet problem som i natur ligner dem der er behandlet i kurset.
• Designe nye approksimationsalgoritmer til et givet problem som i natur ligner dem der er behandlet i kurset
• Kunne bevise at et givet afgørelsesproblem, som i natur ligner dem der er behandlet i kurset, er NP-komplet eller uafgørligt.
• Kunne definere fixed parametericeret kompleksitet og forklare en eksampel.
• Give præcise definitioner samt beviser for ovenstående.
  

Kurset indeholder følgende faglige hovedområder:

• Endelige automater og stakautomater
  
• Regulære sprog og kontekstfrie sprog
• Grammatiker
• Turing-maskiner
• Afgørlighed
• Problem reduktioner
• Nedre grænser (informationsteoretiske og modstanderargumenter)
• Kompleksitetsklasserne P og NP
• Teorien for NP-fuldstændighed
• Approksimationsalgoritmer
• Parametericeret kompleksitet
  

Se itslearning for pensumlister og yderligere litteraturhenvisninger.

På naturvidenskab er undervisningen tilrettelagt efter trefasemodellen dvs. intro, trænings- og studiefasen.

• Introfase (forelæsning, holdtimer) - 38 timer
• træningsfase: 38 timer, heraf 38 timers eksaminatorier

Aktiviteter i studiefasen:

• Selvstudium af lærebogen og andet undervisningsmateriale
• Løsning af ugentlige opgaver med henblik på diskussion af disse ved eksaminatorierne.
• Skriftlige hjemmeopgaver som en del af eksamen
• Selvstændig opsamling på intro- og træningsfasen
• Repetition op til eksamen