MM834: Partielle differentialligninger: teori, modellering og beregning

Det Naturvidenskabelige Studienævn

Undervisningssprog: På dansk eller engelsk afhængigt af underviser, men engelsk ved internationale studerende
EKA: N310005102
Censur: Intern prøve, to eller flere bedømmere
Bedømmelse: 7-trinsskala
Udbudssteder: Odense
Udbudsterminer: Efterår
Niveau: Kandidatkursus forhåndsgodkendt som Ph.d.-kursus

STADS ID (UVA): N310005101
ECTS-point: 10

Godkendelsesdato: 29-04-2025


Varighed: 1 semester

Version: Godkendt - aktiv

Kommentar

Fælles undervisning med MM546.

Indgangskrav

Bestået bachelorgrad i matematik, fysik eller datalogi.
Kurset kan ikke følges af studerende, der har bestået MM546.

Faglige forudsætninger

Studerende, der følger kurset, forventes at

  • have kendskab til calculus, lineær algebra, reel analyse, integralteori og Banachrum.
  • kunne anvende numeriske metoder til løsning af algebraiske og ordinære differentialligninger.
  • er fortrolige med de grundlæggende elementer i python-programmering til numeriske anvendelser

som f.eks. opnået i kurserne MM536 (Calculus for matematik), MM538 (Algebra og lineær algebra), MM533 (Matematisk og numerisk analyse), MM547 (Ordinære differentialligninger: teori, modellering og beregning) og MM548 (Mål- integralteori og Banachrum).

Formål

Hovedformålet med kurset er at undervise i væsentlige teknikker og metoder til numerisk løsning og analyse af partielle differentialligninger (PDE'er).

Partielle differentialligninger forekommer rutinemæssigt inden for mange videnskabelige områder, herunder fysik, ingeniørvidenskab, kemi, biologi, økonomi og mange andre, så emnet er af høj tværfaglig værdi.

Desuden giver det et akademisk grundlag for kandidatprojekter i anvendt matematik.

Målbeskrivelse

For at opnå kursets formål er det læringsmålet for kurset, at den studerende demonstrerer evnen til at:

  • Forstå
    og behandle modeller for komplekse processer i naturvidenskab, hvor
    modellerne involverer partielle differentialligninger.
  • Klassificere anden ordens PDEer og beskrive deres karakteristiske egenskaber.
  • Analysere og simulere partielle differentialligninger ved at benytte passende avancerede metoder og moderne software.
  • Konstruere,
    implementere og analysere numeriske metoder til at beregne
    (approksimative) løsninger til partielle differentialligninger.
  • Forstå den matematiske teori for numeriske metoder til PDE'er
  • Designe og udføre pålidelige simuleringer af PDE modeller for komplekse processer i naturvidenskab.
  • Mundtlig fremstilling af den individuelle projektopgave og besvar af supplerende spørgsmål og yderligere spørgsmål om kursets indhold.

Kurset giver viden om:

  • matematisk modellering og numerisk analyse af problemstillinger inden for naturvidenskab og teknik.
  • forståelse og refleksion over teorier, metoder og praksis inden for fagområdet anvendt matematik.
  • avancerede modeller og metoder i matematik

Indhold

Kurset består af et udvalg af følgende hovedemner. Mens visse grundlæggende elementer altid er inkluderet, kan kursets fokus skifte efter underviserens præferencer.

  • Klassifikation af anden ordens PDEer: elliptiske, parabolske og hyperbolske problemer.
  • Elliptiske randværdiprobler og Galerkin Finitte Elementer.
  • Variationsformulering, ellipticitet, og Lax-Milgram sætningen.
  • Sobolev rum, Cauchy-Schwarz og Poincare uligheder.
  • Poissons ligning: variations form, ellipticitet og implementering.
  • Galerkin's metod, Galerkin ortogonalitet, bedste approximation, og fejlanalyse.
  • Finitte elementer for Poissons ligning, fejlgrænser ved dualitet.
  • Neumann, Dirichlet og Robin randbetingelser.
  • div-grad operatorer.
  • Paraboliske PDEer: Varmeligningen.
  • Runge-Kutta tidsintegration i variationsform.
  • SDIRK metoder og L-stabilitet.
  • Simulering af varmeleding.
  • Parabolisk-elliptiske systemer: Navier-Stokes ligningen
  • Chorin’s projektions metode.
  • Trinvis tryk korrektur - IPC metode.
  • Simulation af inkompresible strømninger med værmeoverførning.
  • Adaptive kalibrering af PDE modeler.
  • Modellreduktion for dynamiske systeme i stor skala

Litteratur

Se itslearning for pensumlister og yderligere litteraturhenvisninger.

Eksamensbestemmelser

Eksamenselement a)

Tidsmæssig placering

Efterår

Udprøvninger

Projektopgave med mundtlig fremstilling

EKA

N310005102

Censur

Intern prøve, to eller flere bedømmere

Bedømmelse

7-trinsskala

Identifikation

Studiekort - Navn

Sprog

Følger, som udgangspunkt, undervisningssprog

Hjælpemidler

Oplyses på kurset

ECTS-point

10

Vejledende antal undervisningstimer

84 timer per semester

Undervisningsform

Skemalagte undervisningstimer: 

Antal undervisningstimer i alt: 84

Heraf: 

Fællestimer i klasselokale/auditorium: 84


Til at formidle og diskutere læringsmaterialet og sætte det i perspektiv bruges en kombination af forberedte forelæsningsslides og dynamiske udledninger på tavlen. Når det er hensigtsmæssigt, illustreres det præsenterede materiale med eksempler, skitser og figurer samt computerdemonstrationer. Sidstnævnte værktøj bruges også til at demonstrere, hvordan teoretisk beviste fakta viser sig i praktiske implementeringer.

Kursusindholdet suppleres med praktiske øvelser til løsning af teoretiske og videnskabelige beregningsproblemer, hvor sidstnævnte omfatter implementering af numeriske algoritmer.

De studerende vil få rig mulighed for at diskutere undervisningsmaterialet med underviseren og deres medstuderende.


Andre planlagte undervisningsaktiviteter: 

  • udarbejdelse af øvelser i studiegrupper
  • forberedelse af projektet
  • at bidrage til online læring aktiviteter i forbindelse med kurset

Ansvarlig underviser

Navn E-mail Institut
Ralf Zimmermann zimmermann@imada.sdu.dk Institut for Matematik og Datalogi

Skemaoplysninger

Administrationsenhed

Institut for Matematik og Datalogi (matematik)

Team hos Registratur

NAT

Udbudssteder

Odense

Anbefalede studieforløb

Profil Uddannelse Semester Udbuds periode

Overgangsordninger

Overgangsordninger beskriver, hvordan et kursus erstatter et andet kursus, når der ændres i et studieforløb.
Hvis der er lavet en overgangsordning for et kursus vil den fremgå af oversigten.
Se overgangsordninger for alle kurser på Det Naturvidenskabelige Fakultet.