MM834: Partielle differentialligninger: teori, modellering og beregning

Bestået bachelorgrad i matematik, fysik eller datalogi.
Kurset kan ikke følges af studerende, der har bestået MM546.

Studerende, der følger kurset, forventes at

• have kendskab til calculus, lineær algebra, reel analyse, integralteori og Banachrum.
• kunne anvende numeriske metoder til løsning af algebraiske og ordinære differentialligninger.
• er fortrolige med de grundlæggende elementer i python-programmering til numeriske anvendelser

som f.eks. opnået i kurserne MM536 (Calculus for matematik), MM538 (Algebra og lineær algebra), MM533 (Matematisk og numerisk analyse), MM547 (Ordinære differentialligninger: teori, modellering og beregning) og MM548 (Mål- integralteori og Banachrum).

Hovedformålet med kurset er at undervise i væsentlige teknikker og metoder til numerisk løsning og analyse af partielle differentialligninger (PDE'er).

Partielle differentialligninger forekommer rutinemæssigt inden for mange videnskabelige områder, herunder fysik, ingeniørvidenskab, kemi, biologi, økonomi og mange andre, så emnet er af høj tværfaglig værdi.

Desuden giver det et akademisk grundlag for kandidatprojekter i anvendt matematik.

For at opnå kursets formål er det læringsmålet for kurset, at den studerende demonstrerer evnen til at:

• Forstå
  og behandle modeller for komplekse processer i naturvidenskab, hvor
  modellerne involverer partielle differentialligninger.
• Klassificere anden ordens PDEer og beskrive deres karakteristiske egenskaber.
• Analysere og simulere partielle differentialligninger ved at benytte passende avancerede metoder og moderne software.
• Konstruere,
  implementere og analysere numeriske metoder til at beregne
  (approksimative) løsninger til partielle differentialligninger.
• Forstå den matematiske teori for numeriske metoder til PDE'er
• Designe og udføre pålidelige simuleringer af PDE modeller for komplekse processer i naturvidenskab.
• Mundtlig fremstilling af den individuelle projektopgave og besvar af supplerende spørgsmål og yderligere spørgsmål om kursets indhold.

Kurset giver viden om:

• matematisk modellering og numerisk analyse af problemstillinger inden for naturvidenskab og teknik.
• forståelse og refleksion over teorier, metoder og praksis inden for fagområdet anvendt matematik.
• avancerede modeller og metoder i matematik

Kurset består af et udvalg af følgende hovedemner. Mens visse grundlæggende elementer altid er inkluderet, kan kursets fokus skifte efter underviserens præferencer.

• Klassifikation af anden ordens PDEer: elliptiske, parabolske og hyperbolske problemer.
• Elliptiske randværdiprobler og Galerkin Finitte Elementer.
• Variationsformulering, ellipticitet, og Lax-Milgram sætningen.
• Sobolev rum, Cauchy-Schwarz og Poincare uligheder.
• Poissons ligning: variations form, ellipticitet og implementering.
• Galerkin's metod, Galerkin ortogonalitet, bedste approximation, og fejlanalyse.
• Finitte elementer for Poissons ligning, fejlgrænser ved dualitet.
• Neumann, Dirichlet og Robin randbetingelser.
• div-grad operatorer.
• Paraboliske PDEer: Varmeligningen.
• Runge-Kutta tidsintegration i variationsform.
• SDIRK metoder og L-stabilitet.
• Simulering af varmeleding.
• Parabolisk-elliptiske systemer: Navier-Stokes ligningen
• Chorin’s projektions metode.
• Trinvis tryk korrektur - IPC metode.
• Simulation af inkompresible strømninger med værmeoverførning.
• Adaptive kalibrering af PDE modeler.
• Modellreduktion for dynamiske systeme i stor skala

Skemalagte undervisningstimer: 

Antal undervisningstimer i alt: 84

Heraf: 

Fællestimer i klasselokale/auditorium: 84

Til at formidle og diskutere læringsmaterialet og sætte det i perspektiv bruges en kombination af forberedte forelæsningsslides og dynamiske udledninger på tavlen. Når det er hensigtsmæssigt, illustreres det præsenterede materiale med eksempler, skitser og figurer samt computerdemonstrationer. Sidstnævnte værktøj bruges også til at demonstrere, hvordan teoretisk beviste fakta viser sig i praktiske implementeringer.

Kursusindholdet suppleres med praktiske øvelser til løsning af teoretiske og videnskabelige beregningsproblemer, hvor sidstnævnte omfatter implementering af numeriske algoritmer.

De studerende vil få rig mulighed for at diskutere undervisningsmaterialet med underviseren og deres medstuderende.

Andre planlagte undervisningsaktiviteter: 

• udarbejdelse af øvelser i studiegrupper
• forberedelse af projektet
• at bidrage til online læring aktiviteter i forbindelse med kurset