MM834: Partielle differentialligninger: teori, modellering og beregning

Bestået bachelorgrad i matematik, fysik eller datalogi.
Kurset kan ikke følges af studerende, der har bestået MM546.

Studerende, der følger kurset, forventes at:

• Have kendskab til calculus, lineær algebra, reel analyse, integralteori og Banachrum.
• Kunne anvende numeriske metoder til løsning af algebraiske og ordinære differentialligninger.
• Kunne programmere i python.

Formålet med kurset er at introducere modelleringsproblemer fra natur-
og ingeniørvidenskab ved partielle differentialligninger, samt at
analysere og løse disse ligninger både ved analytiske (når passende) og
numeriske metoder.

Kurset bygger videre på den viden erhvervet i
kurserne MM536 (Calculus for matematik), MM538 (Algebra og lineær
algebra), MM533 (Matematisk og numerisk analyse), MM547 (Ordinære
differentialligninger: teori, modellering og beregning) og MM548 (Mål-
integralteori og Banachrum).

Kurset er af høj tværfaglig værdi og giver et videnskabeligt grundlag for specialet på flere centrale områder af naturvidenskab.
I forhold til uddannelsens kompetenceprofil har kurset eksplicit fokus på at:

• Give kompetence til:
1. at håndtere komplekse og udviklingsorienterede situationer i studie- og arbejdssammenhænge
2. at identificere egne læringsbehov og strukturere egen læring i forskellige læringsmiljøer
• Give færdigheder i:
1. at analysere praktiske og teoretiske problemer med hjælp af numerisk simulering baseret på en egnet matematisk model
2. at analysere en matematisk models kvalitative og kvantitative egenskaber
3. at beskrive og vurdere fejlkilderne ved modellering og beregning for et givet problem
4. at begrunde og vælge mellem relevante analyse- og løsningsmodeller
5. at
   beskrive, formulere og formidle problemstillinger og resultater til
   enten fagfæller og ikke- specialister eller samarbejdspartnere og
   brugere
• Give viden om:
1. matematisk modellering og numerisk analyse af problemstillinger inden for naturvidenskab og teknik
2. teorier, metoder og praksis inden for fagområdet anvendt matematik

For at opnå kursets formål er det læringsmålet for kurset, at den studerende demonstrerer evnen til at:

• Forstå
  og behandle modeller for komplekse processer i naturvidenskab, hvor
  modellerne involverer partielle differentialligninger.
• Klassificere anden ordens PDEer og beskrive deres karakteristiske egenskaber.
• Analysere og simulere partielle differentialligninger ved at benytte passende avancerede metoder og moderne software.
• Konstruere,
  implementere og analysere numeriske metoder til at beregne
  (approksimative) løsninger til partielle differentialligninger.
• Forstå den matematiske teori for numeriske metoder til PDE'er
• Designe og udføre pålidelige simuleringer af PDE modeller for komplekse processer i naturvidenskab.
• Mundtlig fremstilling af den individuelle projektopgave og besvar af supplerende spørgsmål.

Kurset indeholder følgende faglige hovedområder:

    Klassifikation af anden ordens PDEer: elliptiske, parabolske og hyperbolske problemer.
    Elliptiske randværdiprobler og Galerkin Finitte Elementer.
        Variationsformulering, ellipticitet, og Lax-Milgram sætningen.
        Sobolev rum, Cauchy-Schwarz og Poincare uligheder.
        Poissons ligning: variations form, ellipticitet og FEniCS implementering.
        Galerkin's metod, Galerkin ortogonalitet, bedste approximation, og fejlanalyse.
        Finitte elementer for Poissons ligning, fejlgrænser ved dualitet.
        Neumann, Dirichlet og Robin randbetingelser.
        div-grad operatorer og FEniCS.
    Paraboliske PDEer: Varmeligningen.
        Runge-Kutta tidsintegration i variationsform.
        SDIRK metoder og L-stabilitet.
        Simulering af varmeleding.
        Parabolisk-elliptiske systemer: Navier-Stokes ligningen
        Chorin’s projektions metode.
        Trinvis tryk korrektur - IPC metode.
        Simulation af inkompresible strømninger med værmeoverførning.
    Adaptive kalibrering af PDE modeler.

For at sætte de studerende i stand til at nå læringsmålene for kurset tilrettelægges undervisningen således, at der er 80 forelæsningstimer, holdtimer etc. på et semester. Disse undervisningsaktiviteter udmønter sig i en anslået vejledende fordeling af arbejdsindsatsen hos en gennemsnitsstuderende på følgende måde:

• Introfase (forelæsning, holdtimer) - Antal timer: 52
  
• Træningsfase: Antal timer: 28

Aktiviteter i studiefasen:

• udarbejdelse af øvelser i studiegrupper
• forberedelse af projektet