MM819: Introduktion til operator algebra teori
Indgangskrav
Faglige forudsætninger
Studerende, der følger kurset, forventes at:
- Have kendskab til indledende topologi og funktional-analyse, svarende til indholdet af kurserne MM549 og MM845.
- Kunne udføre basale argumenter af topologisk natur.
- Kunne arbejde selvstændigt med lineær algebra.
- Have en grundlæggende viden om teorien for ringe og grupper.
Formål
Kurset har til formål at give den studerende en introduktion til
indledende operator-algebra-teori, med særligt fokus på C*-algebraer og
operatorer på Hilbert rum. De emner og teknikker der dækkes er vigtige
indenfor stort set alle aspekter af moderne matematisk analyse. Kurset
bygger ovenpå den viden der er opnået i kurserne MM549 (Topologi og kompleks analyse) og MM845 (Funktionalanlayse) og giver den studerende de
nødvendige forudsætninger for specialisere sig indenfor operator-algebra
i forbindelse med kandidatstudierne.
I forhold til uddannelsens kompetenceprofil har kurset eksplicit fokus på at:
- Give kompetence til at tage ansvar for egen faglig udvikling og specialisering
- Give kompetence til at udvikle overblik over sammenhænge mellem forskellige matematiske discipliner.
- Give færdigheder i at arbejde konkret med Hilbert-rum og operatorer på disse.
- Give færdigheder i at anvende centrale funktional-analytiske værktøjer (Hahn-Banachs sætning og dens konsekvenser)
- Give viden om konkrete eksempler på operator-algebraer
- Give viden om kommutative C*-algebraer
- Give viden om operatorer på Hilbertrum.
Målbeskrivelse
For at opnå kursets formål er det læringsmålet for kurset, at den studerende demonstrerer evnen til at:
- gengive definitioner og resultater, med deres beviser, indenfor kursets pensum
- anvende disse resultater på eksempler
- at formulere og præsentere definitioner, beviser og udregninger på en matematisk stringent måde
Indhold
Kurset indeholder følgende faglige hovedområder:
- Gelfandtransformationen
- Repræsentationsteori for C*-algebraer
- Gelfand-Naimarks sætning.
- Spektralsætningen for selvadjungerede operatorer
Litteratur
Eksamensbestemmelser
Eksamenselement a)
Tidsmæssig placering
Udprøvninger
Obligatoriske opgaver
EKA
Censur
Bedømmelse
Identifikation
Sprog
Hjælpemidler
ECTS-point
Uddybende information
Vejledende antal undervisningstimer
Undervisningsform
På naturvidenskab er undervisningen tilrettelagt efter trefasemodellen dvs. intro, trænings- og studiefasen. For at sætte de studerende i stand til at nå læringsmålene for kurset tilrettelægges undervisningen således, at der er 42 forelæsningstimer, holdtimer etc. på et semester.
Disse undervisningsaktiviteter udmønter sig i en anslået vejledende fordeling af arbejdsindsatsen hos en gennemsnitsstuderende på følgende måde:
- Introfase (forelæsning, holdtimer) - Antal timer: 28
- Træningsfase: Antal timer: 14
Introfasen vil introducere de generelle begreber og teorier og øvelsestimerne vil blive brugt til at få en dybere forståelse af disse gennem opgaver. Der vil benyttes aktiverende undervisning.
- De studerende forventes at gøre sig fortrolige med materialet dækket i forlæsningerne.
- At selvstændigt sætte sig ind i udvalgte emner.