MM574: Knuder og deres invarianter

Kurset samlæses med MM867

Studerende, der følger kurset, forventes at: have kendskab til materialet i MM512 (Kurver og flader), MM549 (Topologi og kompleks analyse) og MM567 (Ring teori). 

Uformelt set er en matematisk knude det samme som en knude på en snor, hvor enderne er bundet sammen. En knude er matematisk defineret som billedet af en injektiv afbildning fra cirklen ind i det tredimensionelle rum. 

Knudeteori spiller en central rolle i moderne matematik, især indenfor lav-dimensionel topologi, og i moderne fysik indenfor strengteori og kvantefeltteori. Yderligere spiller knudeteori en vigtig rolle i teorien om topological quantum computing.

Kursets formål er at give en introduktion til matematisk knudeteori og herunder at give en introduktion til centrale knude-invarianter. Klassisk set er en af hovedmålene for knude teori at opnå en klassifikation af knuder, det vil sige at opnå en fuldkommen liste (uden gentagelser) over alle ækvivalens klasser for knuder. Knude-invarianter spiller både en rolle i forbindelse med klassifikation af knuder samt i relation til moderne fysik og seneste også indenfor udviklingen af kvantecomputer.

I forhold til uddannelsens kompetenceprofil har kurset eksplicit fokus:

• At have en grundlæggende forståelse for teorien for topologiske rum, samt klassifikationsproblemet for knuder.
• At have en grundlæggende forståelse samspillet mellem algebra og topologi som det indgår i knudeteori.
• At kunne forklare definitionen på centrale knudeinvarianter, herunder Jones polynomiet.
• At kunne udregne knudeinvarianter i eksempler. 

For at opnå kursets formål er det læringsmålet for kurset, at den studerende demonstrerer evnen til at:

• Ved en skriftlig prøve, at anvende begreber og koncepter, indenfor kursets pensum, på konkrete matematiske eksempler.
• Formulere den skriftlige fremlæggelse i et korrekt matematisk sprog og argumentere for fundne resultaters korrekthed på en matematisk stringent måde.

Kurset indeholder et udvalg af følgende hovedområder: 

• Definitionen af knuder, links og link diagrammer
• Reidemeister’s sætning
• Klassiske invarianter: unknotting number, crossing number, genus og linking number
• Klassifikations-problemet for knuder
• Knude gruppen og Wirtinger’s præsentation af denne
• Jones polynomiet

• Introfase 28 timer 
• Træningsfase 14 timer

Aktiviteter i studiefasen:

• At studere kursusmaterialet og forberede de ugentlige øvelser, individuelt eller gennem gruppearbejde
• At bidrage til online lærings aktiviteter i forbindelse med kurset