MM549: Topologi og Kompleks Analyse
Kommentar
Indgangskrav
Faglige forudsætninger
Formål
Topologiske egenskaber benyttes i de fleste matematiske discipliner, og
formålet med kurset er at videreudvikle og anvende de topologiske
begreber, som blev behandlet i matematisk og numerisk analyse (MM533) i
mere avancerede sammenhænge. Kurset har også til formål at give de
studerende et solidt kendskab til teorien for analytiske funktioner, som
vil sætte dem i stand til at anvende denne vigtige teori i såvel andre
dele af teoretisk og anvendt matematik som i fysiske problemstillinger.
Kurset
bygger oven på den viden, der er erhvervet i kurserne calculus og
Matematisk og numerisk analyse, og giver et fagligt grundlag for at
studere emnerne sandsynlighedsteori, Mål- integralteori og Banachrum og
Hilbert- og Banachrum, der er placeret senere i uddannelsen.
I forhold til uddannelsens kompetenceprofil har kurset eksplicit fokus på:
- at
have en grundlæggende forståelse af teorien for Toplogiske rum,
Fuldstændige metriske rum, Funktionsrum, Normale topologiske rum og dens
anvendelser. - at have en grundlæggende forståelse af teorien for analytiske funktioner og dens anvendelser
- at være i stand til at anvende residueregning til beregning af mange vigtige typer af integraler
- at kunne fremstille de vigtigste holomorfe funktioner i potensrækker og meromorfe funktioner i Laurentrækker
Målbeskrivelse
For at opnå kursets formål er det læringsmålet for kurset, at den studerende demonstrerer evnen til at:
- ved
en mundtlig eller skriftlig prøve, fremlægge formuleringer og beviser i
hvert af de emner, der figurerer i en på forhånd uddelt liste inden for
kursets pensum - formulere den mundtlige eller skriftlige fremlæggelse i et korrekt matematisk sprog
Indhold
- Topologiske rum, inklusive konstruktionsmetoder og begreberne kontinuitet, kompakthed og sammenhæng.
- Fuldstændige metriske rum.
- Funktionsrum.
- Normale topologiske rum.
- Potensrækker
- Analytiske funktioner
- Cauchys integralsætning og integalformler
- Algebraens fundamentalsætning
- Fremstilling af analytiske funktioner ved Taylor- og Laurentrækker
- Poler og nulpunkter. Residuesætningen og dens anvendelse til beregning af bestemte integraler
Litteratur
Eksamensbestemmelser
Eksamenselement a)
Tidsmæssig placering
Udprøvninger
Obligatoriske løbende opgaver
EKA
Censur
Bedømmelse
Identifikation
Sprog
Hjælpemidler
Oplyses på kurset
ECTS-point
Uddybende information
Eksamenselement b)
Tidsmæssig placering
Udprøvninger
Skriftlig eksamen
EKA
Censur
Bedømmelse
Identifikation
Sprog
Hjælpemidler
Nærmere beskrivelse af eksamensreglerne vil blive offentliggjort under 'Course Information' på kursets side i Blackboard.
ECTS-point
Uddybende information
Vejledende antal undervisningstimer
Undervisningsform
- Introfase (forelæsning, holdtimer) - 56 timer
- Træningsfase: 44 timer
Introfasen vil introducere de generelle begreber og teorier og øvelsestimerne vil blive brugt til at få en dybere forståelse af disse gennem opgaver. Der vil benyttes aktiverende undervisning og, hvis muligt, smart boards.
Læsning af kursusmaterialet og forberedelse til ugentlige opgaver, individuelt eller i grupper.