MM547: Ordinære differentialligninger: teori, modellering og beregning
Kommentar
13013201(tidligere UVA) er identisk med denne kursusbeskrivelse.
Fælles undervisning med MM531/MM831 Differentialligninger II samt MM507 Ordinære differentialligninger.
Indgangskrav
Faglige forudsætninger
Studerende, der følger kurset, forventes at:
- Have kendskab til
begrebet af en funktion, reelle og komplekse tal, differentiering og
integration af funktioner af en og flere variable, vektor calculus,
Konvergens af følger, Banachs fixpunkt sætning, Newton’s metode. - Være
bekendt med: systemer af lineære ligninger, matricer, determinanter,
vektorrum, skalar produkt og ortogonalitet, lineære transformationer,
egenvektorer og egenværdier, diagonalisering, polynomier, stokastiske
variable, normalfordelingen - Have kendskab til at implementere
algoritmer som computer programmer og beregne numeriske approksimationer
til matematiske problemer som ikke kan løses eksakt.
Formål
Formålet med kurset er at introducere modelleringsproblemer fra natur-
og ingeniørvidenskab ved ordinære differentialligninger, samt at
analysere og løse disse ligninger både ved analytiske (når passende) og
numeriske metoder.
Kurset bygger på viden opnået i kurserne MM536
(Calculus for matematikere) eller tilsvarende, MM533 (Matematisk og
numerisk analyse) enten MM505 (Linerær algebra) eller MM538 (Lineær
algebra og algebra). Kurset er høj grad interdisciplinært og giver
faglig forudsætning for at skrive BA-projekt indenfor flere kerne
områder i naturvidenskab, der involverer matematisk modellering, såvel
som forudsætning for kurserne MM546 og MM5CC (Beregningsmæssig fysik).
I forhold til uddannelsens kompetenceprofil har kurset eksplicit fokus på at:
- Give kompetence til:
- håndtere komplekse og udviklingsorienterede situationer i studie- og arbejdssammenhænge.
- Give færdigheder i:
- analysere praktiske og teoretiske problemer med hjælp af numerisk simulering baseret på en egnet matematisk model.
- analysere en matematisk models kvalitative og kvantitative egenskaber
- beskrive og vurdere fejlkilderne ved modellering og beregning for et givet problem
- begrunde og vælge mellem relevante analyse- og løsningsmodeller
- Give viden om:
- matematisk modellering og numerisk analyse af problemstillinger inden for naturvidenskab og teknik.
- forståelse og refleksion over teorier, metoder og praksis inden for fagområdet anvendt matematik.
Målbeskrivelse
For at opnå kursets formål er det læringsmålet for kurset, at den studerende demonstrerer evnen til at:
- formulere en differentialligning som model for et simpelt problem.
- løse differentialligninger ved teknikker undervist i kurset.
- finde stationære løsninger og analyser asymptotisk opførsel af simple systemer af differentialligninger.
- Konstruktion, implementering og analyse af numeriske metoder til at beregne (approksimative) løsninger til differentialligninger
- Mundtlig fremstilling og besvar supplerende spørgsmål inden for kursets pensum og problemer løst i obligatoriske opgaver
Indhold
Kurset indeholder følgende faglige hovedområder:
1.1 Første ordens differentialligninger og matematiske modeller.
1.2 Retningsfelter og begyndelsesværdi problemer.
1.3 Eulers metode.
1.4 Eksistens og entydighed, Picard-Lindelöf sætning (som anvendelse affikspunktsætningen).
1.5 Gronwalls Lemma og konvergens af Eulers metode.´
1.6 Analytiske redskaber: integrations faktorer, separation af variabler, og eksakte ligninger.
2.1 Systemer af første ordens differentialligninger, og højere ordens lineære ligninger: fundamentale løsninger, løsnings rum.
2.2 Wronski determinanten, Abels sætning.´
2.3 Analytiske redskaber: ubestemte koefficienter og parametervariation.
3. Numeriske metoder: (indlejret) Runge-Kutta metoder og adaptivitet.
4. Stivhed, implicite metoder, A-stabilitet.
5.1 Introduktion til Ito-SDEer: Ito integral, Ito process, Ito formel.
5.2 Numeriske metoder for SDEer: Euler-Maruyama og Milstein metoder, svag og stærk konvergens.
Litteratur
Eksamensbestemmelser
Eksamenselement a)
Tidsmæssig placering
Udprøvninger
Obligatoriske opgaver
EKA
Censur
Bedømmelse
Identifikation
Sprog
Hjælpemidler
Oplyses på kurset
ECTS-point
Eksamenselement b)
Tidsmæssig placering
Januar
Udprøvninger
Mundtlig eksamen
EKA
Censur
Bedømmelse
Identifikation
Sprog
Hjælpemidler
Oplyses på kurset
ECTS-point
Uddybende information
Reeksamen i samme eksamenstermin eller i umiddelbar forlængelse heraf.
Vejledende antal undervisningstimer
Undervisningsform
For at sætte de studerende i stand til at nå læringsmålene for kurset tilrettelægges undervisningen således, at der er 84 forelæsningstimer, holdtimer etc. på et semester.
Disse undervisningsaktiviteter udmønter sig i en anslået vejledende fordeling af arbejdsindsatsen hos en gennemsnitsstuderende på følgende måde:
- Introfase (forelæsning, holdtimer) - Antal timer: 56
- Træningsfase: Antal timer: 28
- udarbejdelse af øvelser i studiegrupper
- forberedelse af projekter
- at bidrage til online læring aktiviteter i forbindelse med kurset