MM546: Partielle differentialligninger: teori, modellering og beregning

Kurset kan ikke følges af studerende, der har bestået MM834.

Kurset bygger videre på den viden erhvervet i kurserne MM507 (Differentialligninger), MM536 (Calculus for matematik), MM538 (Algebra og lineær algebra), MM533 (Matematisk og numerisk analyse), og MM548 (Mål- integralteori og Banachrum).

Studerende, der følger kurset, forventes at:

• have kendskab til calculus, lineær algebra, reel analyse, integralteori og Banachrum.
• kunne anvende numeriske metoder til løsning af algebraiske og ordinære differentialligninger.
• er fortrolige med de grundlæggende elementer i programmering til numeriske anvendelser

Hovedformålet med kurset er at undervise i væsentlige teknikker og metoder til numerisk løsning og analyse af partielle differentialligninger (PDE'er).

Partielle differentialligninger forekommer rutinemæssigt inden for mange videnskabelige områder, herunder fysik, ingeniørvidenskab, kemi, biologi, økonomi og mange andre, så emnet er af høj tværfaglig værdi.

Desuden giver det et akademisk grundlag for bachelor- og kandidatprojekter i anvendt matematik.

For at opnå kursets formål er det læringsmålet for kurset, at den studerende demonstrerer evnen til:

• At formulere partielle differentialligninger som model for simple problemer.
• At klassificere anden ordens PDEer og beskrive deres karakteristiske egenskaber.
• At analysere og simulere partielle differentialligninger ved hjælp af kursets metoder.
• At
  konstruere, implementere og analysere numeriske metoder til at beregne
  (approksimative) løsninger til partielle differentialligninger.
• Mundtlig fremstilling af den individuelle projektopgave og besvar af supplerende spørgsmål og yderligere spørgsmål om kursets indhold.

Kurset giver viden om:

• matematisk modellering og numerisk analyse af problemstillinger inden for naturvidenskab og teknik.
• forståelse og refleksion over teorier, metoder og praksis inden for fagområdet anvendt matematik.

Kurset består af et udvalg af følgende hovedemner. Mens visse grundlæggende elementer altid er inkluderet, kan kursets fokus skifte efter underviserens præferencer.

• Klassifikation af anden ordens PDEer: elliptiske, parabolske og hyperbolske problemer.
• Elliptiske randværdiprobler og Galerkin Finitte Elementer.
• Variationsformulering, ellipticitet, og Lax-Milgram sætningen.
• Sobolev rum, Cauchy-Schwarz og Poincare uligheder.
• Poissons ligning: variations form, ellipticitet og implementering.
• Galerkin's metod, Galerkin ortogonalitet, bedste approximation, og fejlanalyse.
• Finitte elementer for Poissons ligning, fejlgrænser ved dualitet.
• Neumann, Dirichlet og Robin randbetingelser.
• div-grad operatorer.
• Paraboliske PDEer: Varmeligningen.
• Runge-Kutta tidsintegration i variationsform.
• SDIRK metoder og L-stabilitet.
• Simulering af varmeleding.
• Parabolisk-elliptiske systemer: Navier-Stokes ligningen
• Chorin’s projektions metode.
• Trinvis tryk korrektur - IPC metode.
• Simulation af inkompresible strømninger med værmeoverførning.
• Modellreduktion for dynamiske systeme i stor skala

Skemalagte undervisningstimer:  

Antal undervisningstimer i alt: 80

Heraf:  

Fællestimer i klasselokale/auditorium: 56
Holdtimer i klasselokale/auditorium: 24

Til at formidle og diskutere læringsmaterialet og sætte det i perspektiv bruges en kombination af forberedte forelæsningsslides og dynamiske udledninger på tavlen. Når det er hensigtsmæssigt, illustreres det præsenterede materiale med eksempler, skitser og figurer samt computerdemonstrationer. Sidstnævnte værktøj bruges også til at demonstrere, hvordan teoretisk beviste fakta viser sig i praktiske implementeringer.

Kursusindholdet suppleres med praktiske øvelser til løsning af teoretiske og videnskabelige beregningsproblemer, hvor sidstnævnte omfatter implementering af numeriske algoritmer.

De studerende vil få rig mulighed for at diskutere undervisningsmaterialet med underviseren og deres medstuderende.

Andre planlagte undervisningsaktiviteter: 

• udarbejdelse af øvelser i studiegrupper
• forberedelse af projektet
• at bidrage til online læring aktiviteter i forbindelse med kurset