MM547: Ordinære differentialligninger: teori, modellering og beregning

Kurset kan ikke følges af studerende, der har fulgt MM507, MM531, MM831 eller MM545.

Kurset bygger på viden opnået i kurserne MM536 (Calculus for matematikere) eller tilsvarende, MM533 (Matematisk og numerisk analyse) enten MM505 (Linerær algebra) eller MM538 (Lineær algebra og algebra). 

Studerende, der følger kurset, forventes at:

• Have kendskab til
  begrebet af en funktion, reelle og komplekse tal, differentiering og
  integration af funktioner af en og flere variable, vektor calculus,
  Konvergens af følger, Banachs fixpunkt sætning, Newton’s metode.
• Være
  bekendt med: systemer af lineære ligninger, matricer, determinanter,
  vektorrum, skalar produkt og ortogonalitet, lineære transformationer,
  egenvektorer og egenværdier, diagonalisering, polynomier, stokastiske
  variable, normalfordelingen
• Have kendskab til at implementere
  algoritmer som computer programmer og beregne numeriske approksimationer
  til matematiske problemer som ikke kan løses eksakt.

Formålet med kurset er at introducere modelleringsproblemer fra natur-
og ingeniørvidenskab ved ordinære differentialligninger, samt at
analysere og løse disse ligninger både ved analytiske (når passende) og
numeriske metoder.

Kurset er høj grad interdisciplinært og giver
faglig forudsætning for at skrive BA-projekt indenfor flere kerne
områder i naturvidenskab, der involverer matematisk modellering, såvel
som forudsætning for kurserne MM546 og MM553 (Beregningsmæssig fysik).

For at opnå kursets formål er det læringsmålet for kurset, at den studerende demonstrerer evnen til at:

1. formulere en differentialligning som model for et simpelt problem.
2. løse differentialligninger ved teknikker undervist i kurset.
3. finde stationære løsninger og analyser asymptotisk opførsel af simple systemer af differentialligninger.
4. Konstruktion, implementering og analyse af numeriske metoder til at beregne (approksimative) løsninger til differentialligninger
5. Mundtlig fremstilling og besvar supplerende spørgsmål inden for kursets pensum og problemer løst i obligatoriske opgaver

Kurset indeholder følgende faglige hovedområder:

1.1 Første ordens differentialligninger og matematiske modeller.
1.2 Retningsfelter og begyndelsesværdi problemer.
1.3 Eulers metode.
1.4 Eksistens og entydighed, Picard-Lindelöf sætning (som anvendelse affikspunktsætningen).
1.5 Gronwalls Lemma og konvergens af Eulers metode.´
1.6 Analytiske redskaber: integrations faktorer, separation af variabler, og eksakte ligninger.
2.1 Systemer af første ordens differentialligninger, og højere ordens lineære ligninger: fundamentale løsninger, løsnings rum.
2.2 Wronski determinanten, Abels sætning.´
2.3 Analytiske redskaber: ubestemte koefficienter og parametervariation.
3. Numeriske metoder: (indlejret) Runge-Kutta metoder og adaptivitet.
4. Stivhed, implicite metoder, A-stabilitet.
5.1 Introduktion til Ito-SDEer: Ito integral, Ito process, Ito formel.

Skemalagte undervisningstimer:  

Antal undervisningstimer i alt: 84

Heraf:  

Fællestimer i auditorium: 56

Øvelsestimer i klasselokale: 28

Klassisk forelæsning med tavlegennemgang af lærebogsmaterialet idet der også lægges vægt på aktiv deltagelse af de studerende.

Forelæsningerne suppleres af øvelsestimer under vejledning af en instruktor. Her inddrages de studerende i at arbejde med og præsentere opgaver der relaterer til materialet fra forelæsningerne.

Andre planlagte undervisningsaktiviteter:

* Tilegnelse af lærebogsmateriale som forberedelse til forelæsninger, enten selvstændigt eller i studiegrupper.

* Opgaveløsning som forberedelse til øvelsestimer, enten selvstændigt eller i studiegrupper.

* Løsning og udarbejdelse af obligatoriske afleveringsopgaver.